當微積分這門學科如絢爛的煙火般在牛頓和萊布尼茲這樣的天才腦海中燃燒起來時，它的複雜性和深遠影響無疑超越了那個時代的一切。費馬所開創的求最大值、最小值的方法，猶如一道橋樑，直接引領我們走向了微分的殿堂，成為了微積分研究過程中不可或缺的關鍵步驟。然而，對於像牛頓這樣的曠世奇才，他在這一數學分支中究竟如何打下堅實的基石，卻成了一個難解之謎。
儘管我們無法準確描述牛頓在微積分領域的每一步足跡，但我們可以確定的是，他對那個時代的數學著作進行了廣泛而深入的研究。他沉浸於笛卡爾的《幾何》之中，將其中的智慧融會貫通，化為已用；他也對歐幾里得幾何進行了深入的探索，儘管他後來曾表示對歐氏幾何的一些內容感到乏味。
除了這些，牛頓還研讀了眾多其他數學家的著作。他汲取了蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷戈裡的智慧，也受到了伽利略思想的啟發。而在劍橋大學求學期間，他的親密導師艾薩克·巴羅也為他提供了寶貴的指導。然而，最讓牛頓受益匪淺的，或許是他對約翰·沃利斯所著《無窮算術》的深入研究。這本書不僅解決了曲線積分的問題，更為牛頓在微積分領域的探索指明瞭方向。
當牛頓還是劍橋大學三一學院的一名學生時，他便開始了他的數學研究之旅。1665年6月，他順利獲得了學士學位。然而，就在此時，一場突如其來的瘟疫席捲了整個學校，使得學校不得不關閉了長達18個月之久。在這段漫長的時光裡，牛頓回到了他位於英格蘭中部諾丁漢東南30英里處的小鎮烏爾索普的家中。雖然學校關閉了，但牛頓並沒有停下他求知的腳步。他堅持自學，不斷地探索數學的奧秘。也許有時他會短暫地回到學校，進行一些閱讀和實驗工作，但大部分時間他都是在家中度過的。
這段被迫的自學時光，對於牛頓來說卻成了他人生中最為寶貴的財富。在這兩年多的時間裡，他從1665年到1666年，不僅在光學、天體力學等領域取得了重要的研究成果，更為微積分的研究打下了堅實的基礎。他深入研究沃利斯的成果，並將其擴充套件到了無窮級數的領域。他意識到，許多數學方程都可以用無窮級數來表達，併成功地將其應用到了實際問題中。
在運用無窮級數的過程中，牛頓發現了曲線長度和切線的通用表示式，以及處理求積問題（計算被曲線包圍圖形的面積）的方法。這些發現不僅讓微積分這門學科煥發出了新的生機，更為後來的研究者們提供了寶貴的啟示。微積分運用者們都公認，這是微積分領域的起點，也是牛頓在數學史上留下的濃墨重彩的一筆。
在那段歲月裡，年僅25歲的牛頓已經超越了他在劍橋的老師，甚至超越了當時最頂尖的數學家之一沃利斯。他不再滿足於數學家們一直以來對運動物體軌跡的傳統理解——即將其視為一系列的點。牛頓提出了一種全新的觀點：運動物體的軌跡應該被看作是一個持續運動的點所繪製的圖形。他進一步指出，如果一個點朝某點運動的速度是路程x除以時間t，即\\dfrac{x}{t}，那麼當我們將x和t都不斷減小時，就會觀察到一些有趣的現象。他認為，一個持續並有限的運動實際上等於無窮小路程與無窮小時間的商。為了更好地描述這種運動狀態，牛頓引入了“流”（fluent）這一術語來指代運動的點，並用“流數”（fluxion）來表示它的速度——即“流”的變化率或派生詞。
牛頓的這些創見不僅為微積分學的發展開闢了新的道路，也為整個數學領域注入了新的活力。他的思想和方法不僅在當時引起了轟動，而且對後世產生了深遠的影響。直到今天，我們仍然能夠感受到牛頓的智慧在數學和科學領域中所散發出的璀璨光芒。